Question

已知f(x)=x²+2(a-2)x+4

（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围
（2）如果对x∈[-3,1]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围
（3）如果对a∈[-3.1]，f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围
（4）如果存在x∈[1.3]，使得f（x）＞0，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)为开口向上的抛物线，对称轴为x= 2 - a, 顶点(2 - a, 4 - (a - 2)²)
(1) 如果对一切x∈R，f(x) ＞0恒成立, 则4 - (a - 2)² > 0, a(a - 4) < 0, 0 < a < 4

(2)
(i) 对称轴x = 2 - a ∈[-3,1], -3 ≤ 2 - a ≤ 1, 1 ≤ a ≤ 5
4 - (a - 2)² > 0, 0 < a < 4
结合前提: 1 ≤ a < 4

(ii) 对称轴x = 2 - a < -3, a > 5
此时[-3,1]在对称轴右侧，f(x) > 0, 只须f(-3) > 0
f(-3) = 9 - 6(a - 2) + 4 = 25 - 6a >0
a < 25/6
与a > 5矛盾，此时无解。

(iii)对称轴x = 2 - a > 1, a < 1
此时[-3,1]在对称轴左侧, f(x) > 0, 只须f(1) > 0
f(1) = 1 + 2(a - 2) + 4 = 1 + 2a > 0
a > -1/2
结合前提: -1/2 < a < 1

(i)(ii)(iii)结合: -1/2 < a < 4

(3)
f(x) > 0恒成立, 与(1)相同

(4)
(i) 对称轴x = 2 - a ∈[1, 3], 1 ≤ 2 - a ≤ 3, -1 ≤ a ≤ 1
4 - (a - 2)² > 0, 0 < a < 4
结合前提: 0 < a ≤ 1

(ii) 对称轴x = 2 - a < 1, a > 1
此时[1,3]在对称轴右侧，f(x) > 0, 只须f(1) > 0
f(1) = 1 + 2(a - 2) + 4 = 2a + 1 >0
a > -1/2
结合前提, a > 1

(iii)对称轴x = 2 - a > 3, a < -1
此时[1,3]在对称轴左侧, f(x) > 0, 只须f(3) > 0
f(3) = 9 + 6(a - 2) + 4 = 1 + 6a > 0
a > 1/6
结合前提: -1/2 < a < 1
与a < -1矛盾，此时无解。

(i)(ii)(iii)结合: a > 0