Question

已知函数f(x)=lnx-ax+(1-a)/x(0<a<1),讨论f(x)的单调性

Answer 1

f(x)=lnx-ax+(1-a)/x
f'(x)=1/x-a+(a-1)/x²
=[-ax²+x+(a-1)]/x²
=-a[x²-1/a*x+(1/a-1)]/x²
=-a(x-1)[x-(1/a-1)]/x²

当a=1/2时，1/a-1=1
f'(x)=-1/2(x-1)²/x²≤0恒成立
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数

当0<a<1/2时，1/a-1>1
f(x）递增区间为(1,1/a-1)
递减区间为(0,1),(1/a-1,+∞)

当1/2<a<1时，0<1/a-1<1
∴f(x)递增区间为(1/a-1,1)
递减区间为(0,1/a-1),(1,+∞)

Answer 2

解决方案：F（X）= 1 / XA - （1-A）/ X ^ 2（x> 0时） = - （AX ^ 2-X +1 A）/ X ^ 2
> = - （斧（1-a）中）（X-1）/χ^ 2。如果一个= 0，f的（倍）=（X-1）/χ^ 2，即在0 <X <1，f'的（x）的 1时，函数f（x）是单调递增。 />如果0的<a 2，（1-a）的/ a> 1时。因此，当1 <X a及f'（x）的> 0时，函数f（x）是单调增加的，0 <x （1-a）的/一个，F' （倍）<0时，该函数的单级减速。如果A <0，0 <X <1的f'（x）的 1，f'的（）> 0时，一个单一的生长的功能。