Question

微分和变分的区别?

Answer 1

变分和微分一般的区分是这样的：变分表示任意微元，有时候也表示假想的微元，如虚功原理中所用的变分；而微分表示特定的微元，微分主要是和积分相对应的。
综上
微分和变分都有各自改变的量和不变的量,微分是给定一个函数f(x),让自变量x有微小增量
变分是固定自变量x,让函数f(x)有微小改变,它研究的是函数的变化

Answer 2

1.微分-几何意义设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。2. 几何上都可用 曲边梯形面积的代数和来表示,这就是定积分的几何意义.3. 不定积分的几何意义： 函数 f（x）的一个原函数y=F（x）是这样一条曲线，曲线上任一点（x，F（x））切线斜率等于f（x），曲线F（x）沿y轴平行移动得到y=F（x）+C（一族积分曲线），它们都是f（x）原函数的曲线。

Answer 3

【微分】 函数的无穷小增量(但不是0)称为微分。自变量微分以dx表示；函数微分用dy表示，且dy＝f'(x)dx。
【普通函数】y(ⅹ)＝f(x)， 给定自变量ⅹ一个数值，得到函数y(ⅹ)一个对应数值。
【泛函数】 泛函形式为 J＝定积分∫ f [ g(ⅹ)，g'(x) ] dx，自变量是个变化的函数g(ⅹ)，泛函J仍然是个数值(这与普通函数相同)。给定一个自变函数g1(x)对应一个泛函数值J1，给定另一个自变函数g2(x)对应另一个泛函数值J2，··· 。
【变分】对泛函J求微分就称 ( 高大上文绉绉的 )变分，不用 dJ 而用 δJ 表示，当g(ⅹ)取某特定函数时，泛函J出现极值。数学上令 δJ＝0 (变分法) 得欧拉~拉格朗日方程，可求出运动函数g(ⅹ)与极值J。
【小结】 变分＝对泛函数的求导，令 δJ＝0时，可求出自变函数g(ⅹ) 与 泛函极值J。g(x)一般为物体运动定律。此外求微分方程组数值解的有限元法，原理也是泛函变分法。