Question

高等数学全增量与全微分。

设z=5x^2+y^2，x,y从(1,2)变化到(1.05,2.1)，试比较全增量delta(小三角号)z和全微分dz.这种题目怎么做？不求甚解，给个通用套路，点拨即可。特别是全增量公式中的那个o(p)解释一下。

Answer 1

1. 在题设条件下，全增量和全微分直接计算就可以了。

   z=f(x,y)=5x^2+y^2，
   全增量△y=f(1.05,2.1)-f(1,2)=0.9225，
   全微分dz=fx(1,2)×(1.05-1)+fy(1,2)×(2.1-2)=10×0.05+4×0.1=0.9

2. 计算全增量时不涉及你说的那个o(p)。

3. o(ρ)本质上是一个函数，但它有一个属性，就是它除以ρ后再让ρ趋于0的极限为0，故我们把这个函数读作比ρ高阶的无穷小。

4. 从1.的计算可以看出全增量计算很麻烦，于是我们考虑能不能有一种简便的方法来计算这个全增量，从通用的套路上来说，这种简便方法不可能存在，因为这如同既要马儿好又要马儿不吃草。于是，我们退而求其次，可否有简便的方法计算出全增量的近似值，这样你提到的有o(ρ)的那个等式存在性就纳入了我们的思考范围，结果发现只要f(x,y)满足很少的条件，你提到的有o(ρ)的那个等式就存在，于是全微分就呱呱坠地了。从1.的例子中你可以看到全微分计算工作量比计算全增量工作量小多了，对吧？并且误差也不算大，对吧？

Answer 2

全增量是函数z的变化量 即z2-z1 而全微分dz=(偏微分x)dx+(偏微分)dy两者近似相等 因为 全增量delta(小三角号)z = 权威分dz + o(p) 其中o(p)是全微分的高阶无穷小明白了吗？对于这个例子来说 全增量=z2-z1=z(x=1.05,y=2.1) - z(x-1,y=2) =0.9225 全微分dz=(偏微分x)dx+(偏微分)dy= 10*0.05+4*0.1=0.9可曾明白两者的含义与区别就是用全微分来近似代替全增量

Answer 3

z=f(x,y)=5x^2+y^2，
全增量△y=f(1.05,2.1)-f(1,2)=0.9225，
dz=fx(1,2)×(1.05-1)+fy(1,2)×(2.1-2)=10×0.05+4×0.1=0.9