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高等数学全增量与全微分。
设z=5x^2+y^2,x,y从(1,2)变化到(1.05,2.1),试比较全增量delta(小三角号)z和全微分dz.这种题目怎么做?不求甚解,给个通用套路,点拨即可。...
设z=5x^2+y^2,x,y从(1,2)变化到(1.05,2.1),试比较全增量delta(小三角号)z和全微分dz.这种题目怎么做?不求甚解,给个通用套路,点拨即可。特别是全增量公式中的那个o(p)解释一下。
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3个回答
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在题设条件下,全增量和全微分直接计算就可以了。
z=f(x,y)=5x^2+y^2,
全增量△y=f(1.05,2.1)-f(1,2)=0.9225,
全微分dz=fx(1,2)×(1.05-1)+fy(1,2)×(2.1-2)=10×0.05+4×0.1=0.9计算全增量时不涉及你说的那个o(p)。
o(ρ)本质上是一个函数,但它有一个属性,就是它除以ρ后再让ρ趋于0的极限为0,故我们把这个函数读作比ρ高阶的无穷小。
从1.的计算可以看出全增量计算很麻烦,于是我们考虑能不能有一种简便的方法来计算这个全增量,从通用的套路上来说,这种简便方法不可能存在,因为这如同既要马儿好又要马儿不吃草。于是,我们退而求其次,可否有简便的方法计算出全增量的近似值,这样你提到的有o(ρ)的那个等式存在性就纳入了我们的思考范围,结果发现只要f(x,y)满足很少的条件,你提到的有o(ρ)的那个等式就存在,于是全微分就呱呱坠地了。从1.的例子中你可以看到全微分计算工作量比计算全增量工作量小多了,对吧?并且误差也不算大,对吧?
2013-04-08
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全增量是函数z的变化量 即z2-z1 而全微分dz=(偏微分x)dx+(偏微分)dy两者近似相等 因为 全增量delta(小三角号)z = 权威分dz + o(p) 其中o(p)是全微分的高阶无穷小明白了吗?对于这个例子来说 全增量=z2-z1=z(x=1.05,y=2.1) - z(x-1,y=2) =0.9225 全微分dz=(偏微分x)dx+(偏微分)dy= 10*0.05+4*0.1=0.9可曾明白两者的含义与区别就是用全微分来近似代替全增量
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z=f(x,y)=5x^2+y^2,
全增量△y=f(1.05,2.1)-f(1,2)=0.9225,
dz=fx(1,2)×(1.05-1)+fy(1,2)×(2.1-2)=10×0.05+4×0.1=0.9
全增量△y=f(1.05,2.1)-f(1,2)=0.9225,
dz=fx(1,2)×(1.05-1)+fy(1,2)×(2.1-2)=10×0.05+4×0.1=0.9
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