Question

如图所示,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C1、

3.在抛物线上是否存在点P，使PC=PA?若存在求P坐标，若不存在，说明理由

Answer 1

将(3，0)代人到y=-x²+2x+m，得，

-9+6+m=0,

解得m=3

所以y=-x²+2x+3

当x=0,y=3，所以C(0,3)

因为A(3，0)

所以△OAC是等腰直角三角形，

所以斜边的垂直平分线上的点到A,C的距离相等

即y=x,和y=-x²+2x+3的交点就是点P,

解得：

x²-x-3=0，

解得x=(2±√13)/2

所以符合条件的点P为[(2+√13)/2,(2+√13)/2],[(2-√13)/2,(2-√13)/2],

Answer 2

将点A坐标代入二次函数解析式可求得m=3
二次函数解析式为y=-x^2+2x+3

可求出C点坐标（0,3）
设P（m,n）则由PC=PA可得
根号下m^2+(n-3)^2=根号下(m-3)^2+n^2
即m=n
代入n=-m^2+2m+3
解得m=n=（1+根号下13）/2或m=n=（1-根号下13）/2