Question

已知函数f(x)=lnx.(1)求函数g(x)=f(x+1)-x的最大值

（2）若对任意x>0,不等式f(x)<ax<x^2+1恒成立，求实数a的范围
要详细过程，然后想问下第一问用不用考虑定义域

Answer 1

g(x)=ln(x+1)-x
求导,得到:
g(x)'=1/(1+x)-1
令g(x)'=0, 得到:
1+x=1,于是x=0.
所以x=0是函数的极值点.
经过确认,函数确实在x=0的位置取到最大值,
所以最大值就是g(0)=0.
2.实际就是当导数相等时有临界点
lnx<ax<x^2+1恒成立
设y(x)=ax
h(x)=x^2+1
f`(x)=1/x
y`(x)=a
h`(x)=2x
令1/x=a
x=1/a>0
y(1/a)>f(1/a)
1>ln(/1a)
a>1/e
令2x=a

x=a/2
y(a/2)<h(a/2)
a^2/2<a^2/4+1
-2<a<2
综上1/e<a<2
实数a的范围1/e<a<2

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