Question

已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=-1/2x2+bx+c经过点A、D，点B是抛物线与x轴的另一个

(1)求这条抛物线的解析式及点B的坐标。(2)设点M是直线AD上一点，且S△AOM：S△OMD=1:3，求点M的坐标；（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由， ！！第三问的解答步骤中（3）当x=2时，y=-二分之一x2+x+4=4，∴点C（2，4）；
设点P的坐标为（0，m）（m＞0），则有：
CP2=m2-8m+20、BP2=m2+16、BC2=20；
①当CP=BP时，m2-8m+20=m2+16，解得 m=2分之1；
②当CP=BC时，m2-8m+20=20，解得 m1=0（舍）、m2=8（舍去）；
③当BP=BC时，m2+16=20，解得 m1=-2（舍）、m2=2；
综上，存在符合条件的点P，坐标为（0，二分之一）或（0，2）．
为什么CP2=m2-8m+20

Answer 1

(1) A(-2, 0), D(0, 4)
抛物线过点D: c = 4
抛物线过点A: 0 = -(-2)²/2 + (-2)b + 4, b = 1
y = -x²/2 + x + 4 = (-1/2)(x² - 2x - 8) = (-1/2)(x + 2)(x - 4)
B(4, 0)

(2)以AM和MD为底，两个三角形的高相同，所以只需AM : MD = 1 : 3
设M(m, m')
[m - (-2)] : [0 - m] = 1 : 3, m = -3/2
m' = 2(-3/2) + 4 = 1
M(-3/2, 1)

(3) x = 2, y = (-1/2)(2 + 2)(2 - 4) = 4
C(2, 4)
设P(0, p), p > 0
PC² = (0 - 2)² + (p - 4)² = p² - 8p + 20
PB² = (0 - 4)² + (p - 0)² = p² + 16
BC² = (2 - 0)² + (0 - 4)² = 20
(i) PC = PB
p² - 8p + 20 = p² + 16
p = 1/2
P(0, 1/2)

(ii) PC = BC
p² - 8p + 20 = 20
p = 0 (舍去)
p = 8
P(0, 8)

(iii) PB = BC
p² + 16 = 20
p = 2, P(0, 2)
p = -2 < 0, 舍去