Question

图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3． （1）

（1）如图②，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出它们的关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明；
（3）若分别以Rt△ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？

Answer 1

⑵等边三角形面积公式：S=√3/4*a^2(其中a为等边三角形的边长)。
∴S1=√3/4c^2，S2=√3/4a^2，S3=√3/4b^2，
∵∠C=90°，
∴a^2+b^2=c^2,
∴S2+S3=√3/4(a^2+b^2)=√3/4c^2.
⑶条件减弱：可向外作以三角形的三边为斜边的等腰直角三角形。
条件再减弱：可向外作高分别为三角形三边一半的三角形，
再拓展：高分别为三边各自的n倍。(n为正数)。
总结：所作三角形的高与自身的底(三角形的三边)成相同倍数。

Answer 2

（2）若三条边分别为a、b、c（斜边为c）。
则，S1=c×根号3c/2/2=四分之一根号3×c的平方
同理：S2=四分之一根号3×a的平方
S2=四分之一根号3×b的平方

∴S1=S2+S3