Question

【在线等】（2006•盐城）已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．

（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，连接CD，则△PCD是什么三角形；
怎么证？

Answer 1

解：（1）△PCD是等腰直角三角形．
连接OO'，则OO'过点P；
∵AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点，
∴∠APB=90°，AP=BP，
∴∠DPC=90°，∠A=45°，
又∵AO=BO，
∴∠APO=45°，
∴∠CPO'=45°，
∵CD是直径，
∴O'P=O'C，
∴∠C=∠O'PC=45°，
同理可得∠D=45°，
∴∠C=∠D，
∴CP=DP，
∴△PCD是等腰直角三角形；
（2）选择问题一，△PEF是等腰直角三角形．
证明：连接PA、PB，
∵AB是直径，
∴∠AQB=∠EQF=90°，
∴EF是⊙O′的直径，
∴∠EPF=90°，
在△APE和△BPF中：
∵PA=PB，∠PBF=∠PAE，∠APE=90°+∠EPB=∠BPF，
∴△APE≌△BPF，
∴PE=PF，
∴△PEF是等腰直角三角形；
选择问题二，AE=BF．
证明：连接PA、PB，
根据（1）的结论，
在△APE和△BPF中：
∵PA=PB，∠PBF=∠PAE，∠APE=90°+∠EPB=∠BPF，
∴△APE≌△BPF，
∴AE=BF．
∵AB、EF分别是直径，
∴∠AQB=∠EQF．
及AE垂直且相等与BF．

Answer 2

等腰直角三角形

追问

怎么证等腰，给点提示！急急急

Answer 3

△PCD为等腰三角形

追问

怎么证？？？？？？？？？？？

追答

因为AB为直径，所以∠APB=90°，所以∠DPC=90° 因为DC为直径，O‘为DC中点，所以连接PO',三线合一，所以PC=PD