Question

已知abc属于R+ 且a+b+c=1 求证1/a+1/b+1/c>=9 证明：1/a+1/b+1/c =(1/a+1/b+1/c)*(a+b+c)=3+b/a+a...

已知abc属于R+ 且a+b+c=1 求证1/a+1/b+1/c>=9

证明：1/a+1/b+1/c =(1/a+1/b+1/c)*(a+b+c)=3+b/a+a/b+c/a+a/c+c/b+b/cb/a+a/b大于等于2c/a+a/c大于等于2c/b+b/c大于等于2所以1/a+1/b+1/c大于等于9,当且仅当a=b=c=1/3时取等号从这开始不懂求解释 大于等于2c/b+b/c大于等于2所以1/a+1/b+1/c大于等于9,

Answer 1

这个题直接可以用柯西不等式解决就简单多了，先给你写出格西不等式吧。(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc (a/c=b/d)扩展：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)证明：因为a+b+c=1 ，所以二次根号a的平方加上二次根号b的平方加上二次根号c的平方也等于1，然后用柯西不等式就可以写成括号二次根号a的平方加上二次根号b的平方加上二次根号c的平方乘以括号二次根号a的平方分之一加上二次根号b的平方分之一加上二次根号c的平方分之一大于等于括号二次根号a乘以二次根号a分之一加上二次根号b乘以二次根号b分之一加上二次根号c乘以二次根号c分之一，后面那个就可以等于（1+1+1）的平方了，也就是9，仅当abc相等的时候等号成立，所以这个不等式的证明就出来了。就这么简单。
温馨提示：柯西不等式在高中阶段是一个非常重要的不等式，你要非常熟练的掌握这个，而且柯西不等式还有推广呢，那个更不好理解，你可以上网看看它的推广，记住就可以了，不需要知道怎么证明的，它是用向量证明的，很难得，但是这个一定要掌握好，很有用的。谢谢采纳。

Answer 2

你写的有点问题
1/a+1/b+1/c =(1/a+1/b+1/c)*(a+b+c)=3+b/a+a/b+c/a+a/c+c/b+b/c这个没有问题
然后是
a/b+b/a>=2
a/c+c/a>=2
b/c+c/b>=2
这个是这样算的a/b+b/a-2=a^/ab+b^/ab-2ab/ab=(a-b)^/ab>=0当且仅当a=b时能取等号
所以a/b+b/a>=2
同理
a/c+c/a>=2
b/c+c/b>=2
当且仅当a=b=c时同时取等号
明白了吗？？