Question

在RT△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，将一块直角三角形顶点放在斜边AB的中点P处，将三角形绕点P旋转 继续

在RT△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，将一块直角三角形顶点放在斜边AB的中点P处，将三角形绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC.CB于D.E两点。研究:(1)三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系?请证明
(2)在三角板绕点P的旋转过程中，设CD＝X，△PDE的面积为Y，求Y关于X的函数关系式
(3)三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形?若能，请直接写出△PBE为等腰三角形时CD的长；若不能，请说明理由

Answer 1

(1)PD=PE
证明：∵P 为等腰直角三角形的底边中点，
∴PC=PA，∠CAP=∠PCE=45°
∵∠CPA=∠EPF=90°
∴∠DPA=∠CPE
∴△APD≌△CPE
∴PD=PE
(2)∵CP是等腰直角三角形底边的中点，AC=4，
∴CP=2√2
根据余弦定理，
DP=√（CD^2+CP^2-2CD*CP*cos45°)
=√（x^2+（2√2）^2-2*2√2*x*√2/2）
=√（x^2+8-4x）
△PDE的面积:y=1/2PD*PE=1/2(x^2-4x+8)
(3)△PBE能够成为等腰三角形，有三种情况：
（1），当x=4时，即PC=PB=4时；
（2），当x=2时，即PE=BE=2时；
（3），当x=4-2√2时，即PB=BE=2√2时。