Question

二阶常系数非齐次线性微分方程的求解

我问的是对应齐次线性微分方程有共轭复根的情况。。
比如说求解y"+y=4sinx
对应齐次方程的特征根r1=i，r2=-i；通解Y=C1cosx+C2sinx；
为什么要先解方程y"+y=4[e^(ix)] ？
具体这种情形求解的原理是什么？

Answer 1

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，特解

1、当p^2-4q大于等于0时，r和k都是实数，y*=y1是方程的特解。

2、当p^2-4q小于0时，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一对共轭复根，y*=1/2（y1+y2）是方程的实函数解。

扩展资料：

一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。

一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=Q(x)。

齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

Answer 2

1.对于这种类型的二阶非齐次微分方程，求解的方法：
（1）先求出对应的齐次微分方程的通解：Y
（2）再求出该方程的一个特解：Y1
则方程的通解为：Y+Y1
2.方程特解的求法：
形如y''+py'+qy=Acosωx+Bsinωx 的方程，有如下形式的特解：y1=x^k(acosωx+bsinωx)
其中 a、b为待定系数，k的取值方法如下：
（1）当±iω不是方程y''+py'+qy=Acosωx+Bsinωx对应的齐次方程的特征根时，k=0
（2）当±iω是方程y''+py'+qy=Acosωx+Bsinωx对应的齐次方程的特征根时，k=1

追问

a,b的值如何确定？

追答

将特解代入原方程，比较方程两边 同类项 的系数，就可以解出 a b的值。

Answer 3

令原方程的通解为y=ue^{2x}，代入化简可得：u''-u'=x(u'-x+1)'-(u'-x+1)=0积分得：u'-x+1=Ae^{x}积分化简可得：u=(1/2)x^2-x+Ae^{x}+B从而得原方程的通解为：y=[(1/2)x^2-x+B]e^{2x}+Ae^{3x}

Answer 4

e^ix=cosx+isinx
查一下欧拉公式
就是利用复数，三角函数的特点总结出来的规律，来求解。

Answer 5

图中求积分的过程，你可以先利用无穷级数求积分的方法去求