Question

已知0＜a≤1,0＜b≤1,0＜c≤1,求证：(1+ab+bc+ca)/(a+b+c+abc)≥1

Answer 1

做辅助函数f(x)=-x(b-1)(c-1)+(b-1)(c-1)，
则由于0＜b≤1，0＜c≤1，所以(b-1)(c-1)≥0
即一次函数f(x)是单调递减函数，
又0＜a≤1，
所以f(1)≤f(a)<f(0)，而f(1)=0，
故-a(b-1)(c-1)+(b-1)(c-1)≥0，
因而1+bc-b-c+ab+ac-a-abc≥0，即1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc
所以(1+ab+bc+ca)/(a+b+c+abc)≥1

Answer 2

反证法
(1+ab+bc+ca)/(a+b+c+abc)≥1
abc-(ab+ac+bc)+(a+b+c)-1≤0
a+b+c+abc≤1+ab+ac+bc
0＜a≤1,0＜b≤1,0＜c≤1
（a-1)(b-1)(c-1)≤0