Question

an为等差数列,Sn是前n项和,若Sm=n,Sn=m,求证Sm+n=-(m+n)

Answer 1

解答：
我记得刚解过一道类似的
题目中还是应该有m≠n

不妨设m>n
则Sm-Sn=n-m
∴a(n+1)+a(n+2)+.....+a(m)=n-m
∴ [a(n+1)+a(m)]*(m-n)/2=n-m
∴ a(n+1)+a(m)=-2
∴ a1+a(m+n)=a(n+1)+a(m)=-2
∴ S(m+n)=[a1+a(m+n)]*(m+n)/2=-(m+n)

Answer 2

证：
设公差为d。
Sm=n Sn=m
ma1+m(m-1)d/2=n (1)
na1+n(n-1)d/2=m (2)
(1)-(2)
(m-n)a1+(d/2)[m(m-1)-n(n-1)]=n-m
(m-n)a1+(d/2)[(m²-n²)-(m-n)]=n-m
(m-n)a1+(d/2)[(m+n)(m-n)-(m-n)]=-(m-n)
(m-n)a1+(d/2)(m-n)(m+n-1)=-(m-n)
m≠n，m-n≠0，等式两边同乘以(m+n)/(m-n)
(m+n)a1+(m+n)(m+n-1)d/2=-(m+n)
S(m+n)=(m+n)a1+(m+n)(m+n-1)d/2=-(m+n)