Question

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。E、F分别为线段BO、CO上的两动点，G为AD中点，GE、GF分别与AC、BD交于P、Q两点。（1）当F与O重合时，E与B重合时，恰有BG⊥AC。求证：△APG∽△DGO。（2）当∠EGF满足什么条件时，△APG∽△DGQ（相似比不为1），说明理由。（3）当矩形ABCD为边长为4根号2的正方形，且E运动到使AP=3时，在△APG∽△DGQ（相似比不为1）的条件下，求DQ的长

Answer 1

作图略。

1）由于G为AD中点，故OG⊥AD，可知∠OGD=∠APG=90°；
且∠OAG=∠ODG(△OAD为等腰三角形)，故可得△APG∽△DGO（两三角形两内角相等）

2）若△APG∽△DGQ，并且相似比不为1。已知∠PAG=∠QDG（由第一
问），则∠AGP=∠GQD（因为若∠AGP=∠QGD，相似比为1，即△APG≌△DGQ）；
进一步推出∠APG=∠QGD；
在直线AGD上：∠EGF=180°-∠AGP-∠QGD=180°-∠AGP-∠APG（∠QGD=∠APG）；
在△APG内： ∠A=180°-∠AGP-∠APG;（对比上排的式子）
故∠EGF=∠A时，△APG∽△DGQ（相似比不为1）；

3）△APG∽△DGQ（相似比不为1）时，∠AGP=∠GQD且∠APG=∠QGD；
故有AG/QD=AP/GD; 即2*√2/QD=3/2*√2，算出QD=8/3。

请采纳！！

Answer 2

1、AAS，显然
2、显然应该：∠APG=∠DGQ
∵∠DGQ+∠EGF=∠OAD+∠APG
∴∠EGF=∠OAD
3、此时AG²=AP×DQ
DQ=（2根号2）²/3=8/3

Answer 3