Question

sinx的幂级数展开式问题?

求助啊

Answer 1

你的公式抄错了.
应该是sin(x) = ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·x^(2n-1)/(2n-1)!, 这样不会有n = 0的问题.
或者是sin(x) = ∑{0 ≤ n} (-1)^n·x^(2n+1)/(2n+1)!, 这样n = 0也没问题.

证明可用带Lagrange余项的Taylor展开.
f(x) = ∑{0 ≤ k ≤ n} f^(k)(0)·x^k/k!+f^(n+1)(tx)·x^(n+1)/(n+1)!.
其中f^(k)(x)表示f(x)的k阶导数, f^(0)(x) = f(x), 而t为(0,1)中的某个实数(与x有关).

sin(x)的各阶导数(从0阶开始)依次为sin(x), cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x), cos(x),...
在x = 0处取值依次为0, 1, 0, -1, 0, 1,...
因此展开到2n+1阶得:
sin(x) = ∑{0 ≤ k ≤ n} (-1)^k·x^(2k+1)/(2k+1)!+(-1)^(n+1)·sin(tx)·x^(2n+2)/(2n+2)!.
余项|(-1)^(n+1)·sin(tx)·x^(2n+2)/(2n+2)!| ≤ |x|^(2n+2)/(2n+2)!.
对任意给定的实数x, lim{n→∞} |x|^(2n+2)/(2n+2)! = 0, 故级数逐点收敛到sin(x).
即有sin(x) = ∑{0 ≤ n} (-1)^n·x^(2n+1)/(2n+1)!.

Answer 2

级数我不讲太多，相信书本上有关于sinx的幂级数展开方法，至于为什么书上的公式会写错，我觉得可能是打印时笔误。应将分母修改正为（2n+1）!，否则第一项将无意义。补注：（-1）！是不存在的，并不是不能定义负数的“阶乘”，而是负整数的“阶乘”发散！