Question

已知函数f（x）=x2-ax（a≠0），g（x）=lnx， f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为

已知函数f（x）=x2-ax（a≠0），g（x）=lnx， f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为 l1，g（x-1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且 l1与l2平行．（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1， x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正 数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1-m） x2，β=（1-m）x1+mx2，并且使得不等 式|F（α）-F（β）|＜|F（x1）-F（x2）|恒成 立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+1/x，
F′（x）=(x-1)/x^2≥0
所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增 　
∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0
①当m∈（0，1）时，有
α=mx1+（1-m）x2＞mx1+（1-m）x1=x1，
α=mx1+（1-m）x2＜mx2+（1-m）x2=x2，
得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2)
∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）
从而有|F（α）-F（β）|＜|F（x1）-F（x2）|，符合题设
②当m≤0时，，
α=mx1+（1-m）x2≥mx2+（1-m）x2=x2，
β=mx2+（1-m）x1≤mx1+（1-m）x1=x1，
由f（x）的单调性知，
F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α）
∴|F（α）-F（β）|≥|F（x1）-F（x2）|，与题设不符
③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，
得|F（α）-F（β）|≥|F（x1）-F（x2）|，与题设不符
∴综合①、②、③得 m∈（0，1)

希望对你有帮助
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