Question

求证:f(x)在(a,b)内连续,则f(x)在(a,b)内一致连续的充分必要条件是f(a+0),f(a-o)存在

Answer 1

应该是f(a+0)与f(b-0)存在.

若f(x)在(a,b)一致连续.
对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使对任意x, y∈(a,b)满足|x-y| < δ, 都有|f(x)-f(y)| < ε.
于是对任意x, y∈(a,a+δ), 都有|f(x)-f(y)| < ε.
由Cauchy收敛准则, f(a+0) = lim{x→a+} f(x)存在.
同理f(b-0) = lim{x→b-} f(x)也存在.

若f(a+0)与f(b-0)存在.
一种比较取巧的方法是补充定义f(a) = f(a+0), f(b) = f(b-0).
则f(x)成为[a,b]上的连续函数, 在[a,b]一致连续, 于是也在(a,b)一致连续.

比较平实的方法是分段处理.
任取ε > 0, 由f(a+0)存在, 根据Cauchy收敛准则,
存在δ1 > 0, 使对任意x, y∈(a,a+δ1), 都有|f(x)-f(y)| < ε.
同理存在δ2 > 0, 使对任意x, y∈(b-δ2,b), 都有|f(x)-f(y)| < ε.
又f(x)在[a+δ1/2,b-δ2/2]上连续, 故一致连续.
存在δ3 > 0, 使对任意x, y∈[a+δ1/2,b-δ2/2]满足|x-y| < δ3, 都有|f(x)-f(y)| < ε.
取δ = min{δ1/2, δ2/2, δ3}. 当|x-y| < δ, 可知x, y一定同时落在上述某个区间中.
无论在那个区间中, 都能得到|f(x)-f(y)| < ε. 故f(x)在(a,b)一致连续.