Question

如图，抛物线

如图，抛物线m∶y=-1/4x²+bx+c与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M，已知点A的横坐标为-2，点C的纵坐标为4.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D
⑴求点M及点B的坐标
⑵求抛物线n的函数表达式
⑶设抛物线n与x轴的另一个交点为E点，点P是线段ED上的一个动点（P不与E、D重合），点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF，如果P点的坐标为（x,y）△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，试求出最大值，若S没有最大值，请说明理由

Answer 1

答：
（1）点A（-2,0）及点C（0,4）代入抛物族悔毁线方程y=-1/4x²+bx+c得：
0=-1-2b+c
c=4，b=3/2
抛物线方程为:y=-x^2/4+3x/2+4=-(x-3)^2/4+25/4
故顶点M为（3,25/4)，点B为（8,0）。

（2）抛物线n与抛物线m上的点关于点B对称，设抛物线n上的点为(X,Y)，则有：
(X+x)/2=8，x=16-X
(Y+y)/2=0，y=-Y
代入抛物线m的方程得：
-Y=-（16-X-3）^2/4+25/4
所以抛物线n的方程为：y=（x-13)^2/4-25/4

（3）抛物线n：y=（x-13)^2/4-25/4与x轴的另外一个交点E为（18,0）,顶点为D（13，-25/4），
点P(x,y)，点F（0，y）。
S△PEF
=|PF|*点P到x轴的距离前差/2
=（x-0）*|y|/2
=-xy/2
又兆备因为P(x,y)在线段DE上：y-0=（x-18）（-25/4-0)/(13-18)，即：y=5(x-18)/4
所以：
S△PEF=-xy/2=-x*5(x-18)/4/2=-5(x-18)x/8,(定义域为13<x<18)
S△PEF
=-5(x-18)x/8

=(5/8)*[81-(x-9)^2]
因为P点不与D和E重合，定义域为13<x<18，故△PEF的面积不存在最大值。