Question

一道求数学期望的概率题

题目： 10个人随机的进入15个放假（每个房间容纳人数不限），若随机变量X表示有人的房间数，求X的数学期望。

这题总没有思路，求各位大神帮忙，我需要思路，需要过程。

Answer 1

这里要用到隔板法了（没学过的话，追问我）
将15个房间看做14个隔板，10个人被隔板分割，因此一共有24个位置
我们选14个位置放隔板，剩下的全部放人，就可以知道总共的情况有C（24,14）种
不难分析，最少一个房间有人，最多10个房间有人（那就一步一步来吧）
这里又要用到捆绑法（一样的，没学过追问）
若X = 1，将这10个人捆成一坨，插入15个房间中，那么情况有C（15,1）种
若X = 2，将这10个人捆成两坨。插空法，保证每一坨都有一人，因此10人中9个孔插一个板，共C（9,1）种。同样地，将这两坨插入15个房间，共有C（9,1）*C（15,2）种
若X= 3， 分成三坨，9个孔插两板，共C（9,2）种，将三坨插入15个房间，共C（9,2）*C（15,3）种
若X = 4，四堆，9个孔三板，C（9,3），插入15个房间，共C（9,3）*C（15,4）
若X = 5， 9孔4板，C（9,4），5插入15，共 C（9,4）* C（15,5）
若X = 6，（下面都类推了）共C（9,5）*C（15,6）
若X = 7，共C（9,6）*C（15,7）
若X=8，共C（9,7）*C（15,8）
若X = 9，共C（9,8）*C（15,9）
若X = 10，共C（9,9）*C（15,10）
这里由于基数比较大，我就把每一个X对应的概率写出来，表就自己列吧
P（X=1） = 15/1961256
P（X=2） = 945/1961256
P（X=3） = 16380/1961256
P（X=4） = 114660/1961256
P（X=5） = 378378/1961256
P（X=6） = 630360/1961256
P（X=7） = 231660/1961256
P（X=8） = 540540/1961256
P（X=9） = 45045/1961256
P（X=10） = 3003/1961256

期望
E = ∑ Xi * P（X=i） = 25/4 = 6.25

追问

我还有一点小小的疑问，
比如说X=2时，将人捆成两部分，假如说一部分一人，一部分9人，难道不需要考虑这1个人究竟是哪一个人，而另外那九个又究竟是那9个吗？

追答

不用，随机变量X表示有人的房间数，并不要知道是哪个人

追问

但是这样答案也不对啊！