Question

如图△ABC为等腰三角形,∠BAC=90°,E、F是BC上的点,且∠EAF=45°，求证，BE²+CF²=EF²

Answer 1

如上图 将ABD旋转至ABD'(因为ABC是等腰三角形，所以旋转后的AB与AC完全重合)

连接DD' DE

∠DAD'=∠DAC+∠CAD'=∠DAC+∠BAD=90 AD=AD' 所以DAD'是等腰三角形

又∠DAE=45=1/2∠DAD' 所以AHE是DD'的垂直平分线 所以DE=D'E

又∠D'CE=∠D'CA+∠ACE=∠DBA+∠ACE=90

所以在D'EC中 由勾股定理：D'C^2+CE^2=D'E^2 而 D'E=DE, D'C=BD

所以BD^2+CE^2=DE^2

Answer 2

证明：
△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°
有AB=AC
以AC为一边在△ABC的外侧作△AGC≌△AEB，则有
∠AEB=∠AGC，∠BAE=∠GAC，CG=BE，
∴∠GAF=∠FAC+∠GAC=∠FAC+∠BAE=∠BAC-∠EAF=45°
∴∠AGC+∠AFC=∠AEB+∠AFC=∠AFE+∠EAF+∠AEF+∠EAF=（∠AFE+∠EAF+∠AEF）+45°=180°+45°=225°
由∠GAF=∠EAF，AE=AG，AF=AF得△AGF≌△AEF
∴EF=GF
∵∠GCF=360°-∠GAF-∠AGC-∠AFC=360°-45°-225°=90°
∴CG²+CF²=GF²
∴BE²+CF²=EF²