Question

若随机变量X~N(1,4),Y~N(2,1),且X,Y相互独立,试求随机变量Z=2X-Y+1的概率密度

Answer 1

一个二维正态分布的边缘分布的和总是正态分布.
特别的, 两个独立正态分布的和总是正态分布.
由X ~ N(1,4), 有2X ~ N(2,16).
由Y ~ N(2,1), 有Y+1 ~ N(3,1).
于是E(Z) = E(2X+Y+1) = E(2X)+E(Y+1) = 5.
由X, Y独立, 有2X, Y+1独立.
于是D(Z) = D(2X+Y+1) = D(2X)+D(Y+1) = 17 (期望的可加性是不需要独立条件的, 而方差需要).
故Z ~ N(5,17), 概率密度就不用我写了吧.

追问

我问的就是概率密度。。。
而且你看错题了，是Z=2X-Y+1，不是Z=2X+Y+1

追答

不好意思, 改正一下.
1-Y ~ N(-1,1)
E(Z) = E(2X)+E(1-Y) = 1.
D(Z) = D(2X)+D(1-Y) = 17.
因此Z ~ N(1,17).

其实我的意思是正态分布的密度函数你自己就能写了...
因为Z ~ N(1,17), 所以密度函数为f(z) = e^(-(z-1)²/34)/√(34π).