Question

计算三重积分∫∫∫zdxdydz,其中Ω由x^2+y^2+z^2=1，z=0围成

Answer 1

因为，曲面z=x^2+y^2在柱坐标下的方程为z=ρ^2

这题如果是计算积分值的话，正解如下：

因为z=常数的平面与Ω截得区域的面积为πz

所以∫∫∫zdxdydz＝∫(0~4)z(πz)dz=(1/3)π(z^3)︱(0~4)=64π/3

扩展资料：

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ。

若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

三重积分的几何意义：

三重积分就是立体的质量。

当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。

当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示