Question

一道有关行列式的题，求详解，有点不明白(-1)的n(n-1)/2次方怎么来的。

| 0 0 ... 0 X1 |
| 0 0 ... X2 0 |
| ... ... ... ... ... ... | = (-1)^n(n-1)/2 X1X2...Xn
| 0 Xn-1 ... 0 0 |
| Xn 0 ... 0 0 |
还有一个问题，为什么不是直接等于 - X1X2...Xn呢？

Answer 1

这个其实涉及到最最基础的知识了，我们知道，行列式展开后，比如有一项a12a21a33，行号按123排列，列号为213，逆序数的个数为1，所以该项的符号为（-1）的1次方，为负。
同样的道理，你的这个行列式是a1na2(n-1)a3(n-2)......an1这样的形式，行号是1,2,......n。列号是n,n-1......1，这样逆序数就是n(n-1)/2个，因此n(n-1)/2次方就是这么来的

Answer 2

n/(n-1)/2 是 n,n-1,...,1这个序列中逆序数的个数

追问

为什么不是直接等于 - X1X2...Xn呢？

追答

你知道行列是的定义吗?
X1X2...Xn前面正负的判断是根据X1,X2,...,Xn在行列式中的位置决定的,
Xn在行列式中的位置是(n,1)
Xn-1在行列式中的位置是(n-1,2)
.
.
.
以此类推
X2在行列式中的位置是(2,n-1)

X1在行列式中的位置是(1,n)
这个时候可以按行排列:
为(1,n),(2,n-1),...,(n,1)
计算列排列中的逆序数为n(n-1)/2
再根据(-1)^n(n-1)/2判读系数为正还是负
补充一下系数的正负由:(-1)^(行排列的逆序数个数+列排列的逆序数个数) 决定

上面我按行排,所以行排列的逆序数个数为零,列排列的逆序数个数为n(n-1)/2

Answer 3

逆序书才是王道，等于x1x2x3....xn的那个对角行列式也是有逆序数为零得来的