Question

若曲线y=f(x)处处有切线，则函数y=f(x)必处处可导，为什么是错的？

Answer 1

一个圆水平切成两半，把下半圆向右平移一个直径距离，
则这曲线如： y=√(2x-x²)，0≤x≤2；y=-√(6x-x²-8)，2<x≤4.
y=f(x)在[0,4]上处处有切线，在x=2处有切线x=2，但是y=f(x)在x=2处却不可导。

追问

怎么不可导呢？这个图像在x=2处明显是可导的呀？

追答

亲，你再想想看是不是可导的

追问

导数的定义是说有左右极限，根据你的描述，在x=2处有：左极限=右极限=0呀，为什么不可导呢？

追答

左导数和右导数，你不要弄错了啊，在x=2处是连续的，lim(x->2-)f(x)=lim(x->2+)f(x)=f(2)=0。

追问

对呀，你都说了左导数和右导数了，既然有左导数和右导数，为什么还是不可导的呢？

追答

我给你解答下吧：
f(x)在x=2处的左导数lim(x->2-)[f(x)-f(2)]/(x-2)=lim(x->2-)√(2x-x²)/(x-2)
=-lim(x->2-)√x/√(2-x)=-∞
f(x)在x=2处的右导数lim(x->2+)[f(x)-f(2)]/(x-2)=lim(x->2+)-√(6x-x²-8)/(x-2)
=-lim(x->2+)√(4-x)/√(x-2)=-∞，
左导数和右导数都不存在，f(x)在x=2处不可导了啊。