Question

设f（x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x＞0时。有[xf′(x)-f(x)]/x²＜0恒成立，

设f（x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x＞0时。有[xf′(x)-f(x)]/x²＜0恒成立，则不等式x²f(x)>0的解集是

Answer 1

当x>0时
有(xf'(x)-f(x))/x^2<0成立
(f(x)/x)'<0
f(x)/x是减函数，f(2)=0
f(x)/x<0,x>2==>f(x)<0
f(x)>0,0<x<2==>f(x)>0
f(x)是定义在R上的奇函数
-2<x<0,f(x)=-f(-x)<0
x<-2,f(x)>0
综上x^2f(x)>0的解集是0<x<2或x<-2

Answer 2

解答： 解：f（x） +xf′（x）＜0，即 [xf（x）]′＜0， ∴当x＞0时， y=xf（x）单调递 减， 又f（x）为奇函数，∴y=xf（x）为偶函 数， ∵f（-3）=0，∴-3•f（-3）=0，且3f（3） =0， 作出函数y=xf（x）的草图如图所示： 由图象知，当x＜-3时，xf（x）＜0，则 f（x）＞0；当0＜x＜3时，xf（x）＞0，则 f（x）＞0，

又x 2 f（x）＞0可化为f（x）＞0，且x≠0，

∴x 2 f（x）＞0的解集为：

∪（0，3）
故选B．