Question

把下列矩阵化为标准型矩阵(Er 0)第一行2,3,1,-3,7 第二行1,2,0,-2,-4 第三行3,-2,8,3,0 第四行2,-3,7,4,3

用初等变换判断下列矩阵是否可逆，如可逆求其逆矩阵 第一行3,2,1 第二行3,1,5 第三行3,2,3

Answer 1

用初等变换来转化矩阵

2 3 1 -3 7

1 2 0 -2 -4

3 -2 8 3 0

2 -3 7 4 3 第1行减去第2行×2，第3行减去第2行×3，第4行减去第2行×2

0 0 0 1 -94 第3行除以132，第1行加上第3行×15，第2行减去第3行×26，第4行加上第3行×94

再进行初等列变换

这样就化为了标准型矩阵(Er 0)

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候，

即用行变换把矩阵(A，E)化成(E，B)的形式，那么B就等于A的逆

在这里

(A，E)=

3 2 1 1 0 0

3 1 5 0 1 0

0 0 2 -1 0 1 第3行除以2，第1行加上第2行乘以2，第2行乘以-1

3 0 9 -1 2 0

0 1 -4 1 -1 0

0 0 1 -1/2 0 1/2 第1行除以3，第1行减去第3行乘以3，第2行加上第3行×4

1 0 0 7/6 2/3 -3/2

0 1 0 -1 -1 2

0 0 1 -1/2 0 1/2 这样就得到了E，A^(-1)的形式

那么其逆矩阵为：

7/6 2/3 -3/2

-1 -1 2

-1/2 0 1/2

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

Answer 2

用初等变换来转化矩阵
2 3 1 -3 7
1 2 0 -2 -4
3 -2 8 3 0
2 -3 7 4 3 第1行减去第2行×2，第3行减去第2行×3，第4行减去第2行×2
～
0 -1 1 1 15
1 2 0 -2 -4
0 -8 8 8 12
0 -7 7 8 11 第2行加上第1行×2，第3行减去第1行×8，第4行减去第1行×7，第1行乘以-1
～
0 1 -1 -1 -15
1 0 2 0 26
0 0 0 0 132
0 0 0 1 -94 第3行除以132，第1行加上第3行×15，第2行减去第3行×26，第4行加上第3行×94
～
0 1 -1 -1 0
1 0 2 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 第1行加上第4行，第1行和第2行交换，第3行和第4行交换
～
1 0 2 0 0
0 1 -1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
再进行初等列变换，
这样就化为了标准型矩阵(Er 0)

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候，
即用行变换把矩阵(A，E)化成(E，B)的形式，那么B就等于A的逆
在这里
(A，E)=
3 2 1 1 0 0
3 1 5 0 1 0
3 2 3 0 0 1 第2行减去第1行，第3行减去第1行
～
3 2 1 1 0 0
0 -1 4 -1 1 0
0 0 2 -1 0 1 第3行除以2，第1行加上第2行乘以2，第2行乘以-1
～
3 0 9 -1 2 0
0 1 -4 1 -1 0
0 0 1 -1/2 0 1/2 第1行除以3，第1行减去第3行乘以3，第2行加上第3行×4
～
1 0 0 7/6 2/3 -3/2
0 1 0 -1 -1 2
0 0 1 -1/2 0 1/2 这样就得到了E，A^(-1)的形式
那么其逆矩阵为：
7/6 2/3 -3/2
-1 -1 2
-1/2 0 1/2