Question

已知函数f（x）=lnx,g(x)={（1/2)x^2}+a的图像(a为常数),直线L与函数f(x) g(x)图像相切，且L与f(x)相切点

的横坐标为1 求：f(1+x^2）—g(x)=k的解的个数

Answer 1

切点F(1, 0)

f'(x) = 1/x, f'(1) = 1/x = 1

g'(x) = x = 1

g(1) = 1/2 + a = f(1) = 0

a = -1/2

g(x) = (x² - 1)/2

h(x) = f(1 + x²) - (x² - 1)/2 = ln(1+ x²) - (x² - 1)/2

h'(x) = 2x/(1 + x²)  - x

= x(1 - x²)/(1 + x²) = 0

x = -1, x = 0, x = 1

x < -1: h'(x) > 0

-1 < x < 0: h'(x) < 0

0 < x < 1: h'(x) > 0

x > 1: h'(x) < 0

h(1) = h(-1) = ln2为最大值

h(0) = 1/2为极小值

(i) k > ln2时，f(1 + x²)  - g(x) = k无解

(ii) k = ln2时, f(1 + x²)  - g(x) = k有二解(x = ±1)

(iii) 1/2 < k < ln2时, f(1 + x²)  - g(x) = k有4解

(iv) k = 1/2时, f(1 + x²)  - g(x) = k有3解

(v) k < 1/2时, 时, f(1 + x²)  - g(x) = k有2解

Answer 2

解：∵f'(x)=1/x，g'(x)=x
∴f'(1)=1
则直线的k=1
设直线为y=x+b且与f(x)的切点为(1,c)
则1+b=c
ln1=c=0
b=-1
∴直线方程为y=x-1
与g(x)联立
即x-1=(1/2)x^2+a
x^2-2x+2a+2=0
∵△=0
则4-8a-8=0
∴a=-1/2
∴g(x)=(x²-1)/2,

∵f(1+x²）-g(x)=ln(1+x²)-(x²-1)/2=k

即ln(1+x²)=k+(x²-1)/2=(x²+2k-1)/2=[x²-(1-2k)]/2
当1-2k>1即k<0时，ln(1+x²)-(x²-1)/2=k有两根。
当1-2k≤1即k≤0时，ln(1+x²)-(x²-1)/2=k没有实根。

Answer 3

f'(x)=1/x
f'(1)=1
L的斜率为1,且过点(1,0)
L的方程为:y=x-1
g'(x)=x
令g'(t)=1,得t=1
切点为(1,0)
a=-1/2
g(x)=x^2/2-1/2
f(1+x^2)-g(x)=ln(1+x^2)-x^2/2+1/2
令1+x^2=t, 上式=lnt-t/2+1
h(t)=lnt-t/2+1 (t>=1)
h'(t)=1/t-1/2
1<=t<2,h'(t)>0
t>2,h'(t)<0
h(t)先增后减.
h(1)=1/2,增至h(2)=ln2,再减到x无穷时,y负无穷（图象自己画一下。）
当k<1/2时,t一解,x两解。
当k=1/2时，t两解，其中一个为1。x三解。（t=1时，x^2=0,只对应一个解）
当1/2<k<ln2时，t两解，x四解。
当k=ln2时，t一解，x两解。
当k>ln2时，t无解，x无解。