Question

已知函数 f(x)=lnx，g(x)= 1 2 x 2 +t(t 为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切

已知函数 f(x)=lnx，g(x)= 1 2 x 2 +t(t 为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则t的值为______．

Answer 1

f′（x）= 1 x ，f′（1）=1，故直线l的斜率为1， 切点为（1，f（1）），即（1，0）， ∴直线l：y=x-1 ① 又∵g′（x）=x，直线l：y=x-1与函数g（x）的图象都相切 ∴令g′（x）=1，解得x=1，即切点为（1， 1 2 +t） ∴l：y-（ 1 2 +t）=x-1，即y=x- 1 2 +t ② 比较①和②的系数得- 1 2 +t=-1，∴t=- 1 2 ． 故答案为：- 1 2 ．