Question

设点P是抛物线C:x^2=2py在第一象限内的任意一点,过P作抛物线C的切线L交X轴于点M，F为抛物线C的焦点，点Q

满足向量PM=1/2（PF+PQ)，若三角形PFQ是面积为根号3的等边三角形，则P的值为

Answer 1

曲线C：x²=2py，焦点F(0,p/2)；
设P点坐标为P(n,n²/(2p))，则 y'=n/p；
直线PM方程：y-n²/(2p)=(n/p)(x-n)，与 x 轴交点 M(n/2,0)；
向量PM=(1/2)(PF+PQ)，则M在FQ连线的中点：Xq=2*Xm=n，Yq=-Yf=-p/2，∴ Q(n,-p/2)；
因为△PGQ是等边三角形，故有 PQ²=PF²=FQ²；
由于 S△PGQ=(√3/2)PF²/2=(√3/4)PF²=√3，∴ PF=PQ=FQ=1/2；
PQ²=[n²/(2p)-(-p/2)]²=(n²+p²)²/(2p)²=(1/2)²，n²+p²=p；
FQ²=n²+p²=(1/2)²，与上式对比可知，p=(1/2)²=1/4；

追问

答案为1

追答

检查计算过程中倒三行误算边长 |PF|＝1/2，应为 |PF|＝2；∴ n²+p²=4p，n²+p²=2²；p=1；