Question

设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=0。

设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=0。证明:至少存在一点c，使f'(c)+f(c)g'(c)=0。

Answer 1

证明：
作辅助函数F(x)＝f(x)e∧g(x)
则F'(x)＝f'(x)e∧g(x)＋f(x)g'(x)e∧g(x)
＝[f'(x)＋f(x)g'(x)]e∧g(x)
显然F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且F(a)＝F(b)＝0
由罗尔定理知，至少存在c∈(a，b)，使F'(c)＝0
即 [f'(c)＋f(c)g'(c)]e∧g(c)＝0
而 e∧g(c)≠0
故 f'(c)＋f(c)g'(c)＝0.

Answer 2

A．f（x）＞g（x） 解：设F（x）=f（x）-g（x），则F（a）=f（a）-g（a）=0．
F′（x）=f′（x）-g′（x）＞0，
∴F（x）在给定的区（a，b）上是增函数．
∴当x＞a时，F（x）＞F（a），
即f（x）-g（x）＞0，f（x）＞g（x），

追问

不知道你在干什么。

追答

呵呵 我的确很马虎的

Answer 3

非常赞同
楼下
的方法
受教了