设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)≠0,x∈[a,b]，证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使得：
题目有错,更正：(∫ f(x)dx) / (∫ g(x)dx)=f(ξ)/g(ξ)。 ∫ 符号的上下分别为b和a。 展开
令F(x)=f(x)在a到x上的积分,G(x)=g(x)在a到x上的积分，由柯西介值定理（有的翻译为哥西中值定理）一步即出。
令H(x)=F(x)G(b)-G(x)F(b)，并注意到F(a)=G(a)=0，可证明H(a)=H(b)=0，利用拉格朗日中值并整理即可。
例如：
证明：若函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,
x 1 x∈（0,2a）
分段函数f(x) =
0,x=0 x=2a
如果把这个题目改成闭区间 [0,2a]
令 F(x) = f(a x) - f(x) 则F(x)在[0,2a]上连续
F(a) = f(2a) - f(a)
F(0) = f(a) - f(0) = - F(a)
由闭区间连续函数介值定理，必然存在一点,使得F(X)的值为0
扩展资料：
解析：该定理给出了导函数连续的一个充分条件。（注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。）我们知道，函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。
证明：由导数的定义可知，函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右导数相等，因此分别来研究左右导数。
参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理
使得F(X)的值为0。
解答过程如下：
令F(x)=f(x)在a到x上的积分，G(x)=g(x)在a到x上的积分，由柯西介值定理（有的翻译为哥西中值定理）一步即出。
令H(x)=F(x)G(b)-G(x)F(b)，并注意到F(a)=G(a)=0，可证明H(a)=H(b)=0，利用拉格朗日中值并整理即可。
例如：
证明：若函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，x 1 x∈（0，2a）分段函数f(x) =0，x=0 x=2a
如果把这个题目改成闭区间 [0，2a] ，令 F(x) = f(a x) - f(x) 则F(x)在[0，2a]上连续
F(a) = f(2a) - f(a)
F(0) = f(a) - f(0) = - F(a)
由闭区间连续函数介值定理，必然存在一点，使得F(X)的值为0。
罗尔中值定理
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：
（1）在闭区间 [a，b] 上连续。
（2）在开区间 (a，b) 内可导。
（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a，b)，使得 f'(ξ)=0。
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a，b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1、若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a，b] 上必为常函数，结论显然成立。
2、若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a，b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a，b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。
好吧，我简要说下过程。令H(x)=F(x)G(b)-G(x)F(b)，并注意到F(a)=G(a)=0，可证明H(a)=H(b)=0，利用拉格朗日中值并整理即可。
很感谢啊，等我理解一下，有问题还能再问吗？
可以啊,呵呵
