Question

求证：抛物线y平方等于2px（p大于0），以过焦点的弦为直径的圆必与直线x=-p/2相切

Answer 1

证明：
设焦点为F（p/2,0)，弦为AB，AB的中点为M，A（x1,y1)，B（x2，y2）,M[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
根据抛物线的定义：
AF=x1+p/2
BF=x2+p/2
AB=x1+x2+p=2R
所以圆的半径R=（x1+x2）/2+p/2
圆心M[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]到准线x=-p/2的距离为：L=(x1+x2)/2+p/2=R
故直线x=-p/2与圆M相切。
即：以过焦点的弦为直径的圆必与直线x=-p/2相切

Answer 2

根据抛物线的性质 焦半径r1+r2 等于弦与抛物线的两交点距离所以弦中点就是圆心 根据梯形的性质 两交点到准线的距离的和的一半等于圆的半径 所以相切图自己画画就明白了

Answer 3

设直线交抛物线A，B两点，分别过x=-p/2作AC，BD垂直于C,D两点，所以AB=AC+BD取AB的中点E，作EF垂直于直线x=-p/2于点F所以EF=1/2AB 则EF=AE=BE=r以E为原点的圆必于直线x=-p/2相切