Question

如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似

如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数。
图图
请写出作图具体步骤

Answer 1

解：⑴在Rt △ABC中，∠ ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴ ，∴CD=BD．

　　∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．

　　∴E是△ABC的自相似点．

　　⑵①作图略．（根据画角等的方法，画出两个角就行了）

　　作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；

　　（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．

　　则P为△ABC的自相似点．

　　②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴ ， ．

　　∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．

　　∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，

　　∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．

　　∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．

　　∴ ．∴该三角形三个内角的度数分别为720/7 、180/7 、360/7 ．