Question

一道关于高等数学微分中值定理的证明题目。

Answer 1

分析：要证明存在一点，使得f'(x)＞1，即f'(x)-1＞0，而f'(x)-1是f(x)-x的导数，所以可以考虑对F(x)=f(x)-x使用中值定理，找到一个区间[a,b]，只要F(b)-F(a)＞0即可。
证明：令F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，F(0)=0，F(1)=0。
f(x)在[0,1]上不恒等于x，所以存在一点η∈(0,1)，使得f(η)≠η，即F(η)≠0。
若F(η)＞0，则在[0,η]上使用拉格朗日中值定理，则存在一点ξ∈(0,η)，使得F'(ξ)=(F(η)-F(0))/η=F(η)/η＞0，所以f'(ξ)＞1。
若F(η)＜0，则在[η,1]上使用拉格朗日中值定理，则存在一点ξ∈(η,1)，使得F'(ξ)=(F(1)-F(η))/(1-η)=-F(η)/(1-η)＞0，所以f'(ξ)＞1。
结论得证。