Question

数学抛物线

过点P(4,4)且与双曲线x²/16-y²/9=1只有一个交点的直线有多少条?答案是4条，别跟我说3条和2条，求计算和画图法，详细点，不要抄袭的，这题我已经放了2个星期了，解决能让我很好地明白可以追加分数。高考了。帮下忙。

Answer 1

三条，两条分别平行渐近线，一条相切。

后面计算量太大了，但是思路是这样的，解看还有没有其他切线就行了，目前能看到的有三条

Answer 2

你好，必然是四条，计算太麻烦，我解释给你，你自己算，既然是高考，就当练笔。首先所谓只有一个交点的直线就是叫你求过点P且与双曲线相切的直线对吧。P（4，4）在第一象限双曲线的上方对吧。那么点P 与二三象限的双曲线必然各有一条切线对吧。 此外过点P 必然与第一象限的双曲线部分有条切线，为什么呢？ 因为一条 斜率K >0 一条斜率K <0 必然能找到这样的两条直线过点P且与双曲线相切。所以一共是四条！

求采纳

Answer 3

首先明确只有一个交点的直线包括2种情况：相切和相交
相切：右顶点（4,0）
x=4与双曲线x²/16-y²/9=1相切
设直线y=k(x-4)+4
与x²/16-y²/9=1联立求Δ
两者联立整理,得
(9-16k^2)x^2+128k(k-1)x-256(k-1)^2=0
两者相切(只有一交点),则Δ=0
故
[128k(K-1)]^2-4(9-16k^2)[-256(k-1)^2]=0
整理得(k-1)^2=0
k=1
相交：此时过P的直线的斜率分别=两条渐近线的斜率=+/-3/4
y=3/4(x-4)+4=3/4x+1
y=-3/4(x-4)+4=-3/4x+7
一共4条直线
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追问

能画k等于1相切双曲线的图吗？就这里不明白

追答

抱歉，我只会用几何画图，而几何画图画不了方程，

Answer 4

不画图，行吗？