如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由。 展开
解：（1）当t=4时，B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b．
把A（0，6），B（4，0）代入得：
，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=- x+6．
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．
∴ = = = ，
∴BE= AO=3，CE= OB= ，
∴点C的坐标为（t+3， ）．
方法一：
S梯形AOEC= OE•（AO+EC）= （t+3）（6+ ）= t2+ t+9，
S△AOB= AO•OB= ×6•t=3t，
S△BEC= BE•CE= ×3× = t，
∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC
= t2+ t+9-3t- t
= t2+9．
方法二：
∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ABC= AB•BC=BC2．
在Rt△ABC中，BC2=CE2+BE2= t2+9，
即S△ABC= t2+9．
（3）存在，理由如下：
①当t≥0时，
Ⅰ．若AD=BD，
又∵BD‖y轴，
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD，
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB，
∴ = = ，
∴ = ，
∴t=3，即B（3，0）．
Ⅱ．若AB=AD．
延长AB与CE交于点G，
又∵BD‖CG，
∴AG=AC，
过点A画AH⊥CG于H．
∴CH=HG= CG，
由△AOB∽△GEB，
得 = ，
∴GE= ．
又∵HE=AO=6，CE= +6= ×（ + ），
∴t2-24t-36=0，
解得：t=12±6 ．因为t≥0，
所以t=12+6 ，即B（12+6 ，0）．
Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，故BD≠AB．
当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB．
∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况．
②当-3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD=AB
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F．
可求得点C的坐标为（t+3， ），
∴CF=OE=t+3，AF=6- ，
由BD‖y轴，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB，
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴ = ，
∴ = ，∴t2-24t-36=0，
解得：t=12±6 ．因为-3≤t＜0，
所以t=12-6 ，即B（12-6 ，0）．
③当t＜-3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，
可求得点C的坐标为（t+3， ），
∴CF=-（t+3），AF=6- ，
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD．
又∵BD‖y轴，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF．
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，CF=BC，
∴AF=2CF，即6- =-2（t+3），
解得：t=-8，即B（-8，0）．
综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，
此时点B坐标为：B1（3，0），B2（12+6 ，0），B3（12-6 ，0），B4（-8，0）．
