Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),(其中A>0, ω>0,0<φ<π/2)的周期为π,且图像上有一个最低点为M(2π/3,-3).

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),（其中A>0, ω>0,0<φ<π/2）的周期为π，且图像上有一个最低点为M(2π/3,-3).
（1）求f(x)的解析式；（2）求函数y=f(x)+f(x+π/4)的最大值及对应x的值。

Answer 1

函数f(x)=Asin(ωx+φ),（其中A>0, ω>0,0<φ<π/2）

∵f(x)周期为π
∴2π/w=π,∴w=2
∵图像上有一个最低点为M(2π/3,-3).
∴A=3, 4π/3+φ=2kπ+3π/2,k∈Z
∴φ=2kπ+π/6,k∈Z
∵0<φ<π/2取k=0得φ=π/6
∴f(x)=3sin(2x+π/6)

(2) 函数
y=f(x)+f(x+π/4)
=3sin(2x+π/6)+3sin[2(x+π/4)+π/6]
=3sin(2x+π/6)+3sin[π/2+(2x+π/6)]
=3[sin(2x+π/6)+cos(2x+π/6)]
=3√2[√2/2sin(2x+π/6)+√2/2cos(2x+π/6)]
=3√2sin(2x+5π/12)
当2x+5π/12=2kπ+π/2,k∈Z
即x=kπ+π/24，k∈Z时，f(x)取得最大值3√2