Question

高数题：利用极值求椭圆5x^2+4xy+2y^2=1的半长、短轴.

Answer 1

通过观察可以发现(x,y)(-x,-y)都在椭圆上，说明椭圆是关于原点对称的。所以我们要求的只是x^2+y^2的极值。然后用拉格朗日乘数法就可以很容易求出。

椭圆上任意两个间的距离，其中长轴两端点的距离最大，由此转化为极值问题，就是求f(x1,x2,y1,y2)=(x1-x2)^内2+(y1-y2)^2的最大值；

设拉格朗日函数F=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+λ(5x1^2+4x1y1+2y1^2-1)+μ(5x2^2+4x2y2+2y2^2-1)，对各变容量求偏导，求出x1x2y1y2，代人f计算即可。

扩展资料：

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

参考资料来源：百度百科-椭圆

Answer 2

椭圆的极值与半轴
在解析几何中，椭圆是数学中一个重要的曲线，可以描述许多物理现象。通过研究椭圆的几何性质，我们可以了解它的形状、位置和方向等信息。其中，半长轴和半短轴是椭圆两个最重要的参数，它们决定了椭圆的整体大小和形状。
求解椭圆的标准方程
设椭圆的标准方程为：
$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$
其中，A、B、C、D、E、F 是常数。通过配方法可以将椭圆的标准方程化为：
$$\\\\frac{(x - h)^2}{a^2} + \\\\frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$
其中，(h, k) 是椭圆中心的坐标，a 和 b 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
借助极值求解椭圆的半长、短轴
为了求解椭圆的半长轴和短半轴，我们可以借助函数的极值理论。这里，我们将讨论如何利用导数来求解椭圆的半长、短轴。
第一步：化为一元函数
将椭圆的标准方程化为关于 x 或 y 的一元函数。为了便于计算，我们通常将椭圆方程化为关于 x 的一元函数：
$$f(x) = \\\\frac{1}{a^2}(x - h)^2 + \\\\frac{1}{b^2}(k - y)^2$$
第二步：求导并令其等于零
对 f(x) 求导并令其等于零，得到：
$$f\\\'(x) = \\\\frac{2}{a^2}(x - h) = 0$$
解得：
$$x = h$$
第三步：求解半轴
当 x = h 时，f(x) 取到极值。此时，(h, k) 就是椭圆的中心点。将 h 代入椭圆方程，可以求得椭圆的长半轴 a：
$$a = \\\\sqrt{\\\\frac{1}{f(h)}} = \\\\sqrt{\\\\frac{b^2}{k^2}}$$
同理，可以将椭圆方程化为关于 y 的一元函数，求得椭圆的短半轴 b：
$$b = \\\\sqrt{\\\\frac{1}{f(k)}} = \\\\sqrt{\\\\frac{a^2}{h^2}}$$
结论
我们可以利用极值理论求解椭圆的半长轴和短半轴。求解过程主要包括三个步骤：将椭圆方程化为一元函数、对一元函数求导并令其等于零、求解半轴。通过这三个步骤，我们可以深入理解椭圆的几何性质并准确求解其形心和半径。