Question

一次函数y=kx+k过点(1,4),且分别与x轴,y轴交于A,B点.

一次函数y=kx+k过点(1,4)，且分别与x轴、y轴交于A、B点.
（1）求k的值，并在直角坐标系中画出一次函数的图像
（2）求过B点，且垂直于AB的直线l的解析式.
（3）平移直线l交x轴正半轴于P，交y轴正半轴于点Q。若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积

Answer 1

(1)根据题意，得:
过点（1,4）就有：k+k=4
k=2
表达式为：y=2x+2
所以是在直角坐标系中与x轴交A（-1,0），与y轴交B（0,2）的直线
（2）B点（0,2）
又因为与直线AB垂直，所以斜率为 - 1/2 （两直线垂直，斜率之积为 -1）
所以直线的解析是为：y= -1/2x + 2
（3）A(-1，0)
平移直线，直线的斜率不变，为-1/2，所以可以重设平移后的直线方程为Y= -1/2x+m
p（2m，0） Q(0,m) -----------------------由题意得m>0
△APQ是等腰三角形,
当lAPl=lAQl
即：根号下[(-1-2m)^2]=根号下[(-1)^2+(-m)^2]
3m^2+4m=0
此时不合题意
当lAQl=lPQl
即根号下[(-1)^2+(-m)^2]=根号下[(2m)^2+(-m^2)]
4m^2=1
m=1/2
所以直线方程为Y=-1/2+ 1/2
三角形APQ的面积为：1/2底乘以高=1/2 * 2 * 1/2=1/2

Answer 2

一次函数y=kx+k过点(1,4)，且分别与x轴、y轴交于A、B点.
（1）求k的值，并在直角坐标系中画出一次函数的图像
k=2
A点坐标(-1,0)
B点坐标(0,2)
（2）求过B点，且垂直于AB的直线l的解析式.
斜率=-0.5
y=-0.5x+c
代B点坐标(0,2)得c=2
垂直于AB的直线l的解析式为y=-0.5x+2
（3）平移直线l交x轴正半轴于P，交y轴正半轴于点Q。若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积
有两种情况:
AQ=QP时,平移直线方程为y=-0.5x+0.5,△APQ的面积=0.5*2/2=0.5
AP=PQ时,平移直线方程为y=-0.5x+2+√5,△APQ的面积=(2+√5)*(5+2√5)/2=(10+9√5)/2

Answer 3

解：∵一次函数y=kx+k过点（1,4）
∴4=k+k
∴k=2
∴一次函数为y=2x+2
A点为（-2,0），B点为（0，2）
设过B点垂直于AB的直线为：y=k1x+b，则b=2
∵所求直线与AB垂直
∴k1=-1/k=-1/2
∴所求直线l为：y=(-1/2)x+2；
设直线PQ的方程为：y=(-1/2)x+q (q>0)
则P点为（2q,o)，Q点为（0,q)
若AQ=PQ，则：4+q^2=5q^2
解之得：q=1,q=-1(舍去，∵q>0)
此时P点为（2,0），Q点（0,1）
IAPI=4，IOQI=1
∴S三角形APQ=IAPI*IOQI/2
=4/2
=2
若AQ=AP，则4+q^2=(2q+2)^2
解之得：q=0,q=-8/3(都舍去，∵q>0)
若AP=PQ，则（2q+2)^2=q^2+4q^2
整理得：q^2-8q-4=0
q=4+2√5，q=4-2√5(舍去，∵q>0)
∴IAPI=2(4+2√2)+2
=10+4√5
IOQI=q=4+2√5
S△APQ=IAPI*IOQI/2
=(10+4√5)*(4+2√5)/2
=40+18√5
∴三角形APQ的面积为2或40+18√5.