Question

问你您两个问题。 1.解微分方程的通解 xdx+（x^2y+y^3+y）dy=0 我自己只有想到第一

问你您两个问题。
1.解微分方程的通解
xdx+（x^2y+y^3+y）dy=0
我自己只有想到第一步：xdx+y（x^2+y^2+1）dy=0也不知道思路对不对。我想接下来应该是令什么的，或者化为齐次方程，但是不会做了。
还有一题我上图片，您看看。

Answer 1

1、可使用积分因子法，即方程两边同乘以一个二元函数，使得微分方程成为全微分方程。
方程可化成(xdx+ydy)+y(x^2+y^2)dy=0，选择1/(x^2+y^2)为积分因子，则方程化为
d(x^2+y^2)/(x^2+y^2)=-2ydy，
dln(x^2+y^2)=d(-y^2)，
所以方程的通解是ln(x^2+y^2)+y^2=C

或者不用积分因子法，改为换元u=x^2+y^2，以y为自变量，方程化为一阶方程1/2du+yudy=0。

另解：以y为自变量，方程化为dx/dy+yx=-(y^3+y)/x，此方程是伯努利方程。

2、用夹逼准则，把√(1+x^2)放缩为√2与1。极限是0。

追问

谢谢您，努伯利我们专升本考纲不要求的。我还想请教下您，就是我一般做到用夹逼定理都是很长的那种，就是有一串加起来的。一般这种我想不到用这个，您能不能和我说说大概什么时候要用夹逼定理。

追答

你说的那种极限是适合于夹逼准则的常见形式，这里考虑放缩是为了简化极限的计算，√(1+x^2)既然与n无关，如果它变成常数了，积分就简单了。