Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225．数列{bn}是等比数列，b3=a2

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225．数列{bn}是等比数列，b3=a2+a3，b2b5=128（其中n=1，2，3，…）．
（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；（II）记cn=anbn，求数列cn前n项和Tn．

Answer 1

1.
设{an}公差为d，{bn}公比为q
S15=15a1+105d=15(a1+7d)=15a8=225
a8=15
a8-a3=5d=15-5=10
d=2
a1=a3-2d=5-4=1
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
b3=a2+a3=2×2-1+2×3-1=8
b2b5=(b3/q)(b3q²)=b3²q=64q=128
q=2
b1=b3/q²=8/4=2
bn=b1q^(n-1)=2×2^(n-1)=2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2n-1；数列{bn}的通项公式为bn=2ⁿ。
2.
cn=anbn=(2n-1)×2ⁿ=n×2^(n+1)-2ⁿ
Tn=c1+c2+...+cn=1×2²+2×2³+3×2⁴+...+n×2^(n+1)-(2+2²+...+2ⁿ)
令Cn=1×2²+2×2³+3×2⁴+...+n×2^(n+1)
则2Cn=1×2³+2×2⁴+...+(n-1)×2^(n+1)+n×2^(n+2)
Cn-2Cn=-Cn=2²+2³+...+2^(n+1)-n×2^(n+2)
=4×(2ⁿ-1)/(2-1)-n×2^(n+2)
=(1-n)×2^(n+2) -4
Cn=(n-1)×2^(n+2) +4
Tn=Cn -(2+2²+...+2ⁿ)
=(n-1)×2^(n+2) +4-2×(2ⁿ-1)/(2-1)
=(2n-1)×2^(n+1) +6