Question

已知等差数列｛an｝的前项和为Sn，bn=1/Sn，且a3b3=1/2，S3+S5=21

（1）求数列｛bn｝的通项公式
（2）求证：b1+b2+...+bn＜2

请各位写得详细一点，便于我理解！

Answer 1

an=a1+d(n-1)
=>
Sn=(a1+an)n/2
=(2a1+d(n-1))n/2
=>
bn=2/(n(2a1+d(n-1)))
=>
b3=2/(3(2a1+2d))=1/(3a1+3d)
=>
a3/(3a1+3d)=1/2
=>
(a1+2d)/(3a1+3d)=1/2

S3=(2a1+2d)3/2=3a1+3d
S5=(2a1+4d)5/2=5a1+10d
=>
3a1+3d+5a1+10d=21
=>
8a1+13d=21
结合(a1+2d)/(3a1+3d)=1/2
得到a1=1,d=1
=>
an=n
Sn=(1+n)n/2
bn=1/Sn=2/(n^2+n)=2/n-2/(n+1)

b1+b2+...bn
=2/1-2/2+2/2-2/3+2/3-2/4....+2/n-2/(n+1)
=2-2/(n+1)<2

Answer 2

由a3b3=1/2，S3+S5=21 可得a1=1 ，d=1
bn=2/n(n+1)=2(1/n-1/n+1)
累加即得证