Question

已知抛物线的顶点坐标为M(1.4),且经过N(2.3).与X轴交于A.B两点(点A在点B左侧),与Y轴交与点C

(1)求抛物线的解析试及点A.B.C的坐标
(2)若直线Y=KX+T经过C.M两点,且与X轴交于点D,试证四边CDAN是平行四边形
(3)点P是抛物线上的一点。
①当以点P,A,B为顶点的三角形的面积与三角形ABC的面积相等时，请直接写出点P的坐标。
②是否存在这样的点P，使它和B,C两点连成的三角形的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）解：∵顶点M(1,4), ∴设抛物线解析式为y=a(x-1)²+4,
∵抛物线过 N(2,3), ∴3=a(2-1)²+4, 得a= -1, ∴y= -x²+2x+3
令y=0得x1= -1, x2=3, 令x=0,y=3
∴综上有抛物线解析式为y= -x²+2x+3, A(-1,0), B(3,0), C(0,3)
（2）注明：初中直角坐标系里线段AB长直接写AB=...，但如果是高中就要写 |AB|=...
你这是初中的题所以我就不加绝对值符号了啊
由直线y=kx+t 过C(0,3)和M(1,4), 得 3=0+t, 4=k+t, 得t=3,k=1,∴直线CM解析式为y=x+3
令y=x+3=0,x= -3, ∴D（-3,0）,AD=2,又∵C(0,3),N(2,3),∴易知CN∥AD,CN=AD=2
∴四边形CDAN是平行四边形
（3）① 提示：题目说P为抛物线上的点，没说能否与C重合，所以可以x轴上方有两个点，下方有两个点。自己求。求出来就是 P1(0,3) P2(2,3) P3(1-√7, -3) P4(1+√7, -3)
② ... 有点麻烦啊，连接BC，过P点作y轴平行线交直线BC与E，那么以点P,C,B为顶点的三角形面积就是 △PEC面积加△PEB的面积
P点在BC上方为一种情况, 把PE表示出来，就可以求△PBC面积，令它等于△PAB面积看看有没有解
P在PC下方为第二种情况，把PE表示出来，就可以求△PBC面积，令它等于△PAB面积看看有没有解，然后综合看看有没有解
额。。本人是高中生下午就要走了啊，时间紧迫，不会的话先放着，到时候HI我，我先去写我的作业了 - -

追问

我的题目是在抛物线上的

追答

...是啊、哪里有问题？