Question

设f(x)是R上的奇函数，且f(-1)=0,当x>0时，(x^2+1)f'(x)-2xf(x)<0,

设f(x)是R上的奇函数，且f(-1)=0,当x>0时，(x^2+1)f'(x)-2xf(x)<0,则不等式f(x)>0的集解为_____.
知道上那个人的答案看不懂…求讲解
为什么会想到令g(x)=f(x)/(x^2+1)呢？

Answer 1

(x^2+1)f'(x)-2xf(x)<0就是f(x)/(x^2+1)的导数<0
令g(x)=f(x)/(x^2+1),则g(x)当x>0时，单调递减。而f(1)=-f(-1)=0，所以g(1)=0,所以当x>1时，g(x)<0
当0<x<1时，g(x)>0 而g(x)的分母恒大于零，所以当0<x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)<0根据是奇函数，所以当x<-1时，f(x)>0
所以x范围是0<x<1或x<-1

根据(x^2+1)f'(x)-2xf(x)这个式子，由于2x就是前面x^2+1的导数，且前面是f(x)的导数，后面是f(x),应该会联想到f(x)g(x)或f(x)/g(x)这种形式，但中间是减号，应该是分式函数。

Answer 2

(x^2+1)f'(x)-2xf(x)<0就是f(x)/(x^2+1)的导数<0
令g(x)=f(x)/(x^2+1),则g(x)当x>0时，单调递减。而f(1)=-f(-1)=0，所以g(1)=0,所以当x>1时，g(x)<0
当0<x<1时，g(x)>0
而g(x)的分母恒大于零，所以当0<x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)<0根据是奇函数，所以当x<-1时，f(x)>0
所以x范围是0<x<1或x<-1
根据(x^2+1)f'(x)-2xf(x)这个式子，由于2x就是前面x^2+1的导数，且前面是f(x)的导数，后面是f(x),应该会联想到f(x)g(x)或f(x)/g(x)这种形式，但中间是减号，应该是分式函数。