Question

如图，抛物线y=a（x+3）（x-1）与x轴相交于 A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物

如图，抛物线y=a（x+3）（x-1）与x轴相交于 A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一 点C，点C的坐标为（-2， 6）． （1）求a的值及直线AC的 函数关系式； （2）P是线段AC上一动 点，过点P作y轴的平行 线，交抛物线于点M，交x 轴于点N． ①在抛物线上是否存在这 样的点M，使得△CMP与 △APN相似？求点M

Answer 1

解：由题意的：点A坐标为(1，0),点B坐标为(-3,0)
将点C坐标代入抛物线方程得:6=a(-2+3)(-2-1),解得a=-2
设直线AC的方程为y=k(x-1)，代入C点得：6=k(-2-1)，解得k=-2,所以AC的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2
(2)设P点的坐标为(t, 2-2t),则M点的坐标为[t, -2(t+3)(t-1)],N点的坐标为(t,0)
若存在△CMP与 △APN相似，则有MP/PN=CP/PA,或MP/PA=CP/PN
若：MP/PN=CP/PA,易得CM//NA，抛物线方程y=-2(x+3)(x-1)=-2x^2-4x+6,, 令y=6，解得x=-2或x=0
所以M点的坐标为(0,6),
若：MP/PA=CP/PN，易得MC⊥CA,设M(t, -2(t+3)(t-1))
向量CM为(t+2, -2(t+3)(t-1)-6),向量CA为(3,-6),向量CM.向量CA=0
所以有3(t+2)+[2(t+3)(t-1)+6]*6=0化简整理得：4t^2+9t+2=0解得t=-1/4,(t=-2舍去，否则M点与C点重合）
所以M的坐标为（-1/4， -2(-1/4+3)(-1/4-1))即(-1/4,55/8)
综上M的坐标可为（0，6）或(-1/4,55/8)

Answer 2

⑴∵a≠0，令Y=0得X=-3或1，∴A(1，0)，B(-3，0)，
抛物线过(-2，6)，∴6=a(-2+3)(-2-1)，a=-2，
∴Y=-2(X^2+2X-3)=-2(X+1)^2+8，
设直线AC解析式为：Y=KX+b，得方程组：
0=K+b
6=-2K+b
解得：k=-2，b=2，
∴Y=-2X+2。
⑵∵ΔAPN中直角三角形，
∴∠CMP=90°或∠MCP=90°
当∠CMP=90°时，CM∥X轴，又不能与点C重合，∴M的纵坐标为6，
令Y=6，即-2(X+1)^2+8=6，X=-2或0，∴M(0，6)，
当∠MCP=90°时，过C作CQ⊥MN于Q，
设P(p，-2p+2)，则M(p，-2p^2-4p+3)，
PM=-2p^2-2p+1，QM=-2p^2-4p-3，
CQ=p+2，
而AN=1-p，PN=-2p+2，
易得：ΔMQA∽ΔANP，
∴MQ/CQ=AN/PN，
∴(-2p^2-4p-3)/(p+2)=(1-p)/(-2p+2)=1/2，
-4p^2-8p-6=p+2，
4p^2+9p+8=0，Δ=81-128<0，没有实数根。
∴只存在M(0，6)。