Question

初三数学题（二次函数）

如图，顶点为P（4，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，

（1）求该二次函数的关系式；
（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①证明：∠ANM=∠ONM；

②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

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Answer 1

解答：解：（1）∵二次函数的顶点坐标为（4，-4），
∴设二次函数的解析式为y=a（x-4）2-4，
又二次函数过（0，0），
∴0=a（0-4）2-4，解得：a=14，
∴二次函数解析式为y=14（x-4）2-4=14x2-2x；
（2）①证明：过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：

设A（m，14m2-2m），又O（0，0），
∴直线AO的解析式为y=14m2-2mmx=（14m-2）x，
则M（4，m-8），N（4，-m），H（4，14m2-2m），
∴OD=4，ND=m，HA=m-4，NH=ND-HD=14m2-m，
在Rt△OND中，tan∠ONM=ODDN=4m，
在Rt△ANH中，tan∠ANM=HAHN=m-414m2-m=4(m-4)m(m-4)=4m，
∴tan∠ONM=tan∠ANM，
则∠ANM=∠ONM；
②△ANO能为直角三角形，理由如下：
分三种情况考虑：
（i）若∠ONA为直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，
∴△AHN为等腰直角三角形，
∴HA=NH，即m-4=14m2-m，
整理得：m2-8m+16=0，即（m-4）2=0，
解得：m=4，
此时点A与点P重合，故不存在A点使△ONA为直角三角形；
（ii）若∠AON为直角，根据勾股定理得：OA2+ON2=AN2，
∵OA2=m2+（14m2-2m）2，ON2=42+m2，AN2=（m-4）2+（14m2-2m+m）2，
∴m2+（14m2-2m）2+42+m2=（m-4）2+（14m2-2m-m）2，
整理得：m（m2-8m-16）=0，
解得：m=0或m=4+42或4-42（舍去），
当m=0时，A点与原点重合，故∠AON不能为直角，
当m=4+42，即A（4+42，4）时，N为第四象限点，成立，故∠AON能为直角；
（iii）若∠NAO为直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，
∴△AMN∽△DMO，
又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，
∴△AMN∽△DON，
∴△AMN∽△DMO∽△DON，
∴MDOD=ODND，即8-m4=4m，
整理得：（m-4）2=0，
解得：m=4，
此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，
综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO能为直角三角形，当m=4+42，即A（4+42，4）时，N为第四象限点，成立，故∠AON能为直角．