Question

已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x>0时f（x）=log1/2 x，

已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x>0时f（x）=log1/2 x，
(1)求其在R上的解析式；

(2)求解不等式f（x）≤2
(3)是否存在实数a∈(0,1)使得x∈【1-a,1+a】时，函数y=|f(x)|的最大值是log1/2 (a^2+1/2)?
只要第三问具体过程！其余你写了也没用！谢

Answer 1

（1）奇函数，f(-x)=-f(x)
x<0时，-x>0，f(x)=-f(-x)=-log1/2 (-x)
∴函数在R上的解析式为：
f(x)=log1/2 x x>0
f(x)=-log1/2 (-x) x<0
（2）当x>0时，不等式为：f(x)=log1/2 x ≤2
log1/2 x为减函数，∴解即为 x≥(1/2)^2=1/4
当x<0时，不等式为：f(x)=-log1/2 (-x) ≤2，即为log1/2 (-x) ≥-2
-log1/2 (-x)为减函数，则log1/2 (-x) 为-x的减函数
∴ 解即为 -x≤(1/2)^(-2)=4，即为-4≤x<0
综合，不等式解为 x≥1/4或-4≤x<0
（3）a∈(0,1)，则1-a∈(0,1), 1+a∈(1,2)
而x∈[1-a,1+a]，∴总有x>0，
∴f(x)=log1/2 x，|f(x)|=|log1/2 x|
∵0<x≤1时，f(x)≥0，∴此时|f(x)|=log1/2 x，为减函数
x>1时，f(x)<0，∴此时|f(x)|=-log1/2 x，为增函数
∵1-a∈(0,1), 1+a∈(1,2)
∴|f(x)|在[1-a,1]上的最大值为|f(1-a)|=log1/2 (1-a)
|f(x)|在[1,1+a]上的最大值为|f(1+a)|=-log1/2 (1+a)
对数函数在(0,1)上的斜率绝对值大于(1,2)上的斜率绝对值
∴有 log1/2 (1-a) > -log1/2 (1+a)
∴|f(x)|在[1-a,1+a]上的最大值为log1/2 (1-a)
欲使最大值为 log1/2 (a^2+1/2)，
即有 log1/2 (1-a) = log1/2 (a^2+1/2)，
即有 1-a=a^2+1/2，
解得 a=(√3-1)/2
∴所求实数存在，其值为a=(√3-1)/2

追问

不好意思，第三问题目应为 最大值是log1/4 (a^2+1/2)?
我想知道答案，麻烦您再算算？谢谢

追答

都换成常用对数，log1/2(1-a)=lg(1-a)/(-lg2)
log1/4 (a^2+1/2)=lg(a^2+1/2)/(-2lg2)
两个值相等，相当于解方程
lg(1-a)/(-lg2)=lg(a^2+1/2)/(-2lg2)
即 2lg(1-a)=lg(1-a)^2=lg(a^2+1/2)
即 (1-a)^2=a^2+1/2
即 1-2a=1/2
解得 a=1/4