Question

已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上,又知此抛物线上一点A(4,m)到焦点的距离为6

已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上,又知此抛物线上一点A(4,m)到焦点的距离为6 1。求此抛物线的方程式

2。若此抛物线与直线y=kx-2相交于不同的两点A.B,且线段AB中点横坐标为2,求k的值

Answer 1

1.不妨设抛物线方程为y²=2px
则A到焦点的距离等于它到准线的距离，而准线方程为x=-p/2
则4+p/2=6
p=4
y²=8x
2.联立直线与抛物线的方程，可得
(kx-2)²=8x
k²x²+4-4kx=8x
k²x²-(4k+8)x+4=0
若设A(x1,y1)B(x2,y2)
则x1,x2为方程的解，
则x1+x2=-[-(4k+8)]/k²=(4k+8)/k²
而AB中点的横坐标应为(x1+x2)/2=(2k+4)/k²=2
则k²-k-2=0,
(k+1)(k-2)=0
k=-1,k=2
而当k=-1时，原方程的△=0，不符题意，舍去
所以k=2
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Answer 2

1.不妨设抛物线方程为y�0�5=2px
则A到焦点的距离等于它到准线的距离，而准线方程为x=-p/2
则4+p/2=6
p=4
y�0�5=8x

2.联立直线与抛物线的方程，可得
(kx-2)�0�5=8x
k�0�5x�0�5+4-4kx=8x
k�0�5x�0�5-(4k+8)x+4=0
若设A(x1,y1)B(x2,y2)
则x1,x2为方程的解，
则x1+x2=-[-(4k+8)]/k�0�5=(4k+8)/k�0�5
而AB中点的横坐标应为(x1+x2)/2=(2k+4)/k�0�5=2
则k�0�5-k-2=0,
(k+1)(k-2)=0
k=-1,k=2
而当k=-1时，原方程的△=0，不符题意，舍去
所以k=2