Question

高一不等式恒成立问题

如果(a-2)x^2+(a-2)x-4≤0在x∈[-1,3]上恒成立.求a的取值范围。

Answer 1

(a-2)x^2+(a-2)x-4≤0在x∈[-1,3]上恒成立
即(a-2)x^2+(a-2)x≤4
即(a-2)(x²+x)≤4恒成立
当x=0,-1 时，0≤4符合题意
当0<x≤3时，
即a-2≤4/(x²+x),则需a-2≤[4/(x²+x),]min
∵x²+x=(x+1/2)²-1/4∈(0,12]
∴4/(x²+x)≥1/3
∴a-2≤1/3
∴a≤7/3

当-1<x<0时，

即a-2≥4/(x²+x),则需a-2≥[4/(x²+x)]max
∵x²+x=(x+1/2)²-1/4∈[-1/4,0)
∴4/(x²+x)≤-16
∴a-2≥-16
∴a≥-14

综上所述，-14≤a≤7/3

Answer 2

设f(x)=(a-2)x^2+(a-2)x-4
a=2时有f(x)=-4<0,成立
a不＝2时有(1)a>2,开口向上，对称轴是x=-1/2,那么在[－1，3]上有最大值是f(3)=9(a-2)+3(a-2)-4<=0
即有a<=7/3
（2）a<2，开口向下，对称轴是x=-1/2,那么在[-1,3]上有最大值是f(-1/2)=(a-2)*1/4-(a-2)*1/2-4<=0
即有a>=18,与a<2 矛盾，舍。
综上所说，范围是a<=7/3

Answer 3

分两种情况考虑 a-2 >0
第一种：a-2>0开口向上！ 在区间-1，3 所以代入解得的值与a-2>0求交集！ 或者直接考虑 △<0即可 因为>=0都不符合！
第二种：a-2<0开口向下 排除！

Answer 4

因为(a-2)x^2+(a-2)x-4≤0在x∈[-1,3]上恒成立，所以不等式(a-2)^2-4(a-2)*(-4)大于等于0恒成立，先是不等式等于0，得出的两个解为-1,3，你要想象a要包括-1,3，那么只能a小于等于-1或a大于等于3

Answer 5